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Economics

Application du théorème de Bayes à la structure des marchés

Toujours aussi inquiétante, l’évolution des marchés boursiers nécessite une lecture plus précise des mouvements de fusion acquisition, d’introduction en bourse, d’offre publique de retrait. Le théorème de bayes fournit une réponse assez simple de ces mécanismes, permettant de justifier un ensemble d’opérations observées dans l’histoire du système de cotation.

Redéfinissons le théorème tel qu’il est enseigné en mathématiques : on part de la probabilité conditionnelle p(A\B)p(B)= p(A∩B)= p(B\A)p(A)

En divisant par p(B) les deux éléments et en considérant p(A∩B) comme la probabilité que les évènements A et B aient tous les deux lieu, alors on obtient :

P(A\B)= (p(B\A)p(A))\p(B), soit le théorème de bayes.

Il s’agit en fait d’un théorème de probabilités d’affectation positive entre deux évènements. Positive car le sens de l’affectation est défini par un anti slash, ce symbole mathématique utilisé également en informatique signifie une action du conscient de A qui impacte le conscient de B sachant qu’il diminue le refoulement de B vers son subconscient avec une certaine probabilité. Plus simplement, la lecture sociologique de ce théorème peut s’expliquer de la manière suivante. Supposer que vous révisiez pour vos examens avec un très bon élève, dont le niveau de compréhension est très important alors que vous avez des difficultés. Sans échanges majeurs au niveau des explications des théorèmes à apprendre, vous allez travailler à ses cotés. Il en résulte un impact positif sur vous, moins bon élève, puisqu’en percevant son niveau de compréhension qui équivaut à une probabilité définie du niveau de compréhension maximum des enseignements à étudier, vous allez vous même diminuer votre refoulement (terme psychologique lié au passage entre conscient et subconscient, on refoule ce que l’on n’aime pas) consécutif à votre incompréhension, et par conséquent améliorer votre intégration du savoir à son contact avec une probabilité relative qui s’ajoute à votre probabilité initiale de comprendre seul vos cours à apprendre. Bien entendu, la matérialisation que tous les deux évènements aient lieu selon le théorème de Bayes correspond dans ce cas présent au fait que vous étudiez ensemble pour préparer vos examens. On a donc défini une nouvelle probabilité associée à la réalisation de vos révisions tous les deux. D’ou l’intérêt de connaître des bons élèves.

Suite à cette exemple, passons à une lecture économique et financière de ce théorème, afin de comprendre les mécanismes de rapprochement et autres. Nous allons définir deux courants ou vecteurs d’association probabiliste, à savoir celui reliant les actionnaires aux sociétés, et celui qui réunit uniquement les activités des sociétés entre elles.

Le premier environnement d’affectation bayésienne peut se définir ainsi : il s’agit d’une relation verticale de financement, cette affectation entre les sociétés et leurs actionnaires justifie à elle seule les introductions en bourse. Supposons que vous n’êtes pas introduit en bourse, donc vos titres de propriétés ne sont pas échangeables sur le marché, donc vous êtes possédé par un nombre limité d’actionnaires. Ces derniers ne sont pas forcément les meilleurs détenteurs possibles sur les marchés, il vous serait alors possible de percevoir d’autres détenteurs de titre, séduits par les qualités de votre société. Considérant un événement probabiliste de référence tel qu’il existe une probabilité non nul que la détention de vos titres par les meilleurs gérants, les meilleurs fonds ou autres détenteurs de titre vous permettent d’améliorer vos conditions de financement, votre accès au crédit et par conséquent vos financements de développement. Il s’agit d’une relation verticale entre vos créanciers et vous, identique à celle que vous obtenez en introduisant vos cartes de visite sur un marché de businessmen. Les cartes doivent être détenues par les meilleurs businessmen de telles manières que vous puissiez avoir des retombés positives sur votre réseau relationnel, votre activité professionnelle.

De la même manière, l’introduction en bourse signifie un ensemble de détenteurs qui s’échangent vos titres, comme des cartes de visites, ce qui va vous permettre d’obtenir des conditions de financement supérieures à celle que vous pourriez obtenir avec un actionnariat non listé, à condition bien sûr que les détenteurs de titre soient toujours meilleurs que vos actionnaires initiaux. Dans ce cas, l’introduction en bourse a du sens, sinon il est préférable de rester en dehors, puisque vos caractéristiques, autrement dit les performances de votre société ne sont pas assez attrayante, ou ne semblent pas assez solide sur le long terme (une introduction en bourse coûte chère). Voici la règle qui définit les introductions en bourse d’une société à partir du théorème de bayes.

Le second courant d’association probabiliste de type bayésien correspond à l’activité des entreprises entre elles. Supposons que vous soyez un acteur moyen d’un secteur quelconque. Votre secteur ou industrie dispose de caractéristiques moyennes utilisées pour vous référencer par rapport aux performances de vos concurrents. Ces caractéristiques comme le taux de croissance, le niveau d’endettement, le taux d’utilisation, etc. définissent un environnement probabiliste, de même que vous définissez un environnement probabiliste à partir de vos propres caractéristiques. Si les vôtres sont inférieures à celles de votre secteur, alors vous pouvez bénéficier d’une affectation positive qui doit vous permettre d’enregistrer une amélioration de vos performances. On obtient la relation suivante : le leader du secteur tire vers le haut l’indice sectoriel qui lui même crée une amélioration des entreprises concurrentes du même secteur. Simple application du théorème de bayes, et ce indépendamment des détenteurs de titre. Mais il ne faut pas négliger l’impact de l’autre type d’association probabiliste, car il est normal de considérer que l’entreprise la plus faible du secteur, celle qui à les caractéristiques les moins prometteuses sera détenue par les actionnaires les moins attractifs donc la perspective de rebondir en ayant des solutions de financement pour devenir un leader du secteur reste très limité.

Parfois, le porte feuille de détenteurs est si mauvais, et l’entreprise n’a pas réussi à se positionner en tant que leader de son secteur malgré son affectation positive interentreprises, elle sera obligé de procéder à une OPR, une offre publique de retrait pour revenir à un portefeuille d’actionnaires moins mauvais. Même une offre publique d’achat suppose une affectation bayésienne positive une fois l’opération d’achat réalisée, puisque la nouvelle entreprise une fois intégrée doit générer des performances supérieures pour l’entité globale. La condition de déclenchement d’une offre publique d’achat ou d’échange n’est donc rien d’autre qu’une affection bayésienne positive créée par les détenteurs de titre, qui doit couvrir le montant des coûts d’assimilation de la nouvelle société, les synergies étant relatives à l’affectation positive interentreprises. En gros, on ne rachète que si le portefeuille d’actionnaires s’améliore qualitativement après l’opération pour au moins le montant du rachat.

Les cas de spin-off répondent également à une application du théorème de bayes, proches des conditions d’introduction, puisqu’une entreprise doit observer des caractéristiques supérieures d’une de ces branches d’activité par rapport à son ensemble de performances pour déclencher un spin off afin de récupérer des fonds sachant que les détenteurs de titres voudront opter pour la possession de titres uniquement associés à cette branche. Il y aura alors un spin-off de cette division générée par une lecture bayésienne. C’est peut être le plus important théorème de la finance !

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